実は凄かった 2016年

2016 年は、実は 3 から 9 までの連続する立方数の和で表現できる大変めずらしい歳なのでした

$2016 = \sum_{k=3}^{9} k{^3}$ $= 3{^3}+4{^3}+5{^3}+6{^3}+7{^3}+8{^3}+9{^3}$

これを見ているとすぐに気がつくのですが大本命は 9年後の 2025年で $2025 = \sum_{k=3}^{9} k{^3}$ $= 1{^3}+2{^3}+3{^3}+4{^3}+5{^3}+6{^3}+7{^3}+8{^3}+9{^3}$

恐ろしいほどキリがよく、ヨーロッパの一部の人々は 2025年で人の世は終焉し、救世主が復活するのではないか、などと数秘術的に恐れてもいるそうです（という tweet を今年のはじめに読んだ）

そんな週末思想に皆様の週末を陥れてしまわないように解説するとこれは、そもそも 2025 が 単に $45{^2}$で、45 が単に 1+2+3+4+5+6+7+8+9 というだけの偶然なのだそうです

さて、

$2025 = (\sum_{k=1}^{9} k){^2} = \sum_{k=1}^{9} k{^3}$

で、この

$(\sum_{k=1}^{n} k){^2} = \sum_{k=1}^{n} k{^3}$

ですが、 和の平方が立方の和に なるというのが、なんか対称性がキレイです

角度を足したら掛け算になる三角関数の加法定理みたいに見た目がキレイ（と多感な高校生の頃は思ってました）

頭の悪い私も幾何学的な意味を少しかんがえてみたのですが思いつかず、帰納法で理解しようとおもって両辺に $(n+1){^3}$ 足したりしてもうまくいかず、改めて自分の頭の悪さを思い知った所で、頭の良いことに定評のある友人に twitter のダイレクトメッセージで相談してみたところ、一瞬で下記の回答

「左辺は $n{^2}(n+1){^2} / 4$ ですね

n - 1まで正しいとすると $1{^3}$ + ... + $(n - 1){^3}$は$(n - 1){^2}n{^2} / 4$ になります

$(n - 1){^2}n{^2} / 4 + n{^3} = (n{^2} - 2n{^3} + n{^4}) / 4 + n{^3} = (n{^2} + 2n{^3} + n{^4}) / 4 = n{^2}(n + 1){^2} / 4$ ですだ」

これを一瞬で返され、頭のいい人は違うなと思い知った次第なのでした。その頭、うらやましい。